開放系トラジェクトリ・ビジュアライザ
2準位系をRabi周波数 \Omega で駆動し、離調 \Delta を与え、レート \gamma で基底状態へ崩壊させます。
H = \frac{\Delta}{2}\sigma_z + \frac{\Omega}{2}\sigma_x, \qquad L = \sqrt{\gamma}\,\sigma_-.
このアプリは、同じ系を2通りの記述で同時に走らせます。Lindbladマスター方程式は密度行列を与え、ここではBlochベクトルとして描いています。状態が混合状態になるにつれて滑らかに動き、球の内部へ沈んでいきます。モンテカルロ波動関数法は個々の純粋状態を与え、こちらは球面上に留まったまま、ランダムな瞬間に基底状態へ落ちます。これが量子ジャンプです。どちらが正しいという話ではありません。軌道を十分な数だけ平均すれば、マスター方程式が厳密に再現されます。
これらのアプリは生成AIによって作成されています。
- 時刻
- 0.00
- ⟨σz⟩ マスター方程式
- -1.000
- ⟨σz⟩ 軌道平均
- -1.000
- 差
- 0.000
- ジャンプ回数
- 0
図の見方
円はBloch球を x–z 平面で切った断面で、上が |e\rangle、下が |g\rangle です。緑のベクトルがマスター方程式の状態です。その長さが純粋度にあたり、最初は球面上にありますが、駆動と散逸によって状態が混合していくにつれて短くなり、途中で落ち着きます。
淡い点が個々の軌道です。どれも純粋状態なので球面から離れることはありません。球面上を動き、ジャンプが起きた瞬間に |g\rangle へ引き戻されるだけです。オレンジの点は、追いかけやすいように1本だけ強調したものです。
グラフでは、太い緑がマスター方程式の \langle \sigma_z \rangle、細いオレンジがその1本の軌道、青が全軌道の平均です。1本の軌道はマスター方程式とは似ても似つきません。平均は一致します。
このアプリの要点
差の数値が両者のずれで、これがこのアプリの主張そのものです。軌道の本数を1にすると、大きく不規則なまま動きます。本数を増やすとずれは 1/\sqrt{N} で小さくなります。平均値につきものの統計誤差そのものです。既定の設定で最後まで走らせたときのRMS差は、N = 1 で0.68、25で0.14、100で0.06、400で0.04でした。それぞれに \sqrt{N} を掛けると 0.68, 0.68, 0.62, 0.75 となり、ほぼ一定です。
マスター方程式そのものは解析解と突き合わせられます。共鳴時のBloch方程式の定常解は
\langle \sigma_z \rangle_{\text{ss}} = -\frac{\gamma^2}{\gamma^2 + 2\Omega^2}
で、\Omega = 3、\gamma = 1 なら -1/19 = -0.0526 です。表示される値も小数4桁までこれに一致します。
どちらの向きにも近似は入っていません。この分解は厳密です。軌道の密度行列を平均したものは、期待値の意味で任意の N に対してLindblad解を再現し、残るずれはサンプリング誤差であってバイアスではありません。
計算方法
Blochベクトルは次式をRK4で積分しています。
\dot{x} = -\Delta y - \tfrac{\gamma}{2}x, \qquad \dot{y} = \Delta x - \Omega z - \tfrac{\gamma}{2}y, \qquad \dot{z} = \Omega y - \gamma (z + 1).
各軌道は非エルミートな H_{\text{eff}} = H - \tfrac{i\gamma}{2}\sigma_+\sigma_- のもとでRK4により時間発展させ、毎ステップ規格化し直します。ジャンプは確率 \gamma |\langle e | \psi \rangle|^2\,\Delta t で |g\rangle へ遷移させます。刻み幅は \Delta t = 0.005 です。