QRACの状態と測定
コード状態を選び、その状態をどう測るか選択してください。 状態表示は古典ビットと量子状態の対応を示し、復号表示は1ビットを指定するQRAC測定と、QRAO型の同時POVMを比較します。
このデモは生成AIを活用して制作しました。
信号と復元確率
符号化するビットをs_i=(-1)^{x_i}、復号結果を\hat{s}_i=(-1)^{\hat{x}_i}と表します。 アプリに表示する復号相関は、次の量です。
c_i=\mathbb{E}[s_i\hat{s}_i].
このアプリで扱う対称なコード状態では、ビットiの復元確率が
p_i=\Pr(\hat{x}_i=x_i)=\frac{1+c_i}{2}
となります。 c_i=0はランダムな推定、c_i=1は完全な復元に対応します。 この復号相関は、POVMの周辺係数によく使われる記号\kappaとは別の量です。
コード状態
1量子ビットへ符号化する二つのコード状態は、
\rho_x^{(2,1)}=\frac{1}{2}\left[I+\frac{(-1)^{x_1}X+(-1)^{x_2}Z}{\sqrt{2}}\right],
\rho_x^{(3,1)}=\frac{1}{2}\left[I+\frac{(-1)^{x_1}X+(-1)^{x_2}Y+(-1)^{x_3}Z}{\sqrt{3}}\right]
です。 これらの状態は、Bloch球に内接する正方形と立方体の頂点に並びます。
一方、(3,2)符号は4次元Hilbert空間の2量子ビット純粋状態を使います。 単一のBloch球では状態全体を表せないため、アプリは二つの縮約Blochベクトルと3\times3のPauli相関行列を表示します。 計算基底を|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangleの順に並べると、8個のコード状態は次のとおりです。
| x | |\psi_x\rangle |
|---|---|
| 000 | |00\rangle |
| 001 | (|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle)/\sqrt3 |
| 010 | (|00\rangle-|01\rangle+|11\rangle)/\sqrt3 |
| 011 | |01\rangle |
| 100 | (|00\rangle-|10\rangle-|11\rangle)/\sqrt3 |
| 101 | |10\rangle |
| 110 | |11\rangle |
| 111 | (|01\rangle-|10\rangle+|11\rangle)/\sqrt3 |
二つの復号方法
ビット指定QRAC測定は、読みたいビットを先に選び、そのビットに対応する二値POVMを実行します。 同時POVMは、1回の測定から符号化した全ビットの推定値を出力します。 1量子ビット符号でビットkに割り当てたPauli観測量をP_kとすると、ビット指定測定の二つの効果は
M_{b\mid k}=\frac12\left[I+(-1)^b P_k\right]
です。 (3,2)符号では、P_kを次の2量子ビット観測量に置き換えます。
\begin{aligned} O_1&=\sqrt{\frac23}ZI+\frac{XX+XZ}{\sqrt6},\\ O_2&=\sqrt{\frac23}IZ+\frac{IX+YY}{\sqrt6},\\ O_3&=\sqrt{\frac23}ZZ-\frac{XI+ZX}{\sqrt6}. \end{aligned}
この場合も、二つの効果はM_{b\mid k}=\frac12[I+(-1)^bO_k]です。 アプリで使う同時POVMの効果は、
M_y^{(2,1)}=\frac{1}{2}\rho_y^{(2,1)},\qquad M_y^{(3,1)}=\frac{1}{4}\rho_y^{(3,1)},\qquad M_y^{(3,2)}=\frac{1}{2}\rho_y^{(3,2)}
です。 (3,2)の場合、このPOVMは偶数パリティ基底と奇数パリティ基底を等確率で選び、選択した基底で測定する操作に等価です。
| 符号 | ビット指定測定の復元確率 | 同時POVMの1ビット当たりの復元確率 |
|---|---|---|
| (2,1) | \frac12+\frac{1}{2\sqrt2}\approx85.4\% | \frac34=75.0\% |
| (3,1) | \frac12+\frac{1}{2\sqrt3}\approx78.9\% | \frac23\approx66.7\% |
| (3,2) | \frac12+\frac{1}{\sqrt6}\approx90.8\% | \frac56\approx83.3\% |
出典と範囲
(2,1)符号、(3,1)符号、QRAOのrounding測定は、Approximate Solutions of Combinatorial Problems via Quantum Relaxationsに基づきます。 (3,2)符号の具体的構成とパリティ基底による同時測定は、Quantum-Relaxation Based Optimization Algorithms: Theoretical Extensionsに基づきます。 最適な(n,n-1)符号の構成は、Analytical construction of (n,n-1) quantum random access codes saturating the conjectured bound、Physical Review A 114, 012441 (2026)、arXiv:2601.19190で与えられています。
アプリは理想的なコード状態に対する厳密な確率を計算します。 実機ノイズや変分最適化アルゴリズムは再現しません。