箱型ポテンシャルの散乱
左からガウス波束を、高さ V_0・幅 a の箱型ポテンシャルに向けて撃ち込みます。波束は段差で反射成分と透過成分に分かれます。V_0 を波束のエネルギー E より高くすると、透過するのはトンネル効果によるものだけになります。V_0 を負にすればポテンシャル井戸になり、透過率がエネルギーとともに振動します。
単位は \hbar = m = 1 で、中心波数 k_0 の波束に対して E = k_0^2/2 です。
これらのアプリは生成AIによって作成されています。
- 時刻
- 0.0
- 反射
- 0.000
- 透過
- 0.000
- 障壁内
- 0.000
- 平面波の T(E)
- 0.000
図の見方
塗りつぶした四角がポテンシャル、破線が波束のエネルギーで、この2つは同じ縦軸で描いています。実線は |\psi(x)|^2 で、波束が広がっても見えるように別のスケールで描いています。
反射・透過の数値は、その時刻に障壁の左側・右側に見つかる確率です。波束が障壁から完全に離れて初めて期待どおりの意味になるので、障壁内の値が0に戻ってから読んでください。
平面波の値とずれる理由
最後の数値は、エネルギー E ちょうどの平面波に対する教科書どおりの透過率です。
T = \left[1 + \frac{V_0^2 \sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\right]^{-1}, \qquad \kappa = \sqrt{2(V_0 - E)} \quad (E < V_0)
E > V_0 のときは \sinh \to \sin、\kappa \to \sqrt{2(E - V_0)} に置き換わります。
波束は平面波ではありません。k_0 のまわりに波数の広がりを持つので、その透過率は上の曲線を波束のエネルギー分布で平均したものになります。波束が空間的に長くエネルギー幅が狭いときは両者は一致し、T(E) が急に変化するところ、つまり障壁の頂上付近や井戸の共鳴付近でいちばん食い違います。
計算方法
時間発展はsplit-step Fourier法です。ポテンシャル位相を半ステップ、フーリエ空間で運動項の位相を1ステップ、最後にポテンシャル位相をもう半ステップ進めます。長さ420の箱を2048点で刻み、\Delta t = 0.01 としています。壁での吸収は入れていないので、波束が端に到達した時点で自動的に停止します。折り返して自分自身と干渉するのを避けるためです。